لماذا ندرس التفاضل والتكامل في الرياضيات؟ وماذا نستفيد منه في حياتنا؟

التكامل هو فرع هام من فروع الرياضيات يسمح بتحديد المنطقة الواقعة تحت المنحنى. يساعد في حساب التغيير في نظام معين بمرور الوقت ويستخدم في العديد من المواقف العملية مثل الاقتصاد والفيزياء والهندسة. يمكن أيضًا استخدام التكامل لإيجاد المساحة بين المنحنيات ويستخدم لحل المشكلات التي تتضمن الحركة والقوة والمفاهيم الفيزيائية الأخرى. أخيرًا ، يمكن استخدام التكامل لحل المعادلات بتحديد معدل التغيير في نظام معين.

التكامل هو فرع من فروع الرياضيات يدرس العلاقة بين متغيرين. الهدف من التكامل هو حساب المساحة الواقعة أسفل منحنى ، والتي يمكن استخدامها لإيجاد مساحة أي شكل. يتم تحقيق ذلك عن طريق تقسيم المنطقة إلى قطع صغيرة وتلخيص مناطق كل قطعة. من خلال التكامل ، يمكن للمرء أن يجد المنطقة التي يحدها منحنى أو سطح أو حجم ، والتي يمكن استخدامها لحل المشكلات المعقدة.

لنبدأ بالتفاضل , و دعنا ننظر إلي المثال التالي :


أنت تسير بسيارتك علي الطريق و فجأه أوقفك شرطي المرور و أخبرك أنك تجاوزت السرعة و عندما طلبت منه قرائة الرادار أخبرك بانه معطل و أن سيارتك قد تم مشاهدتها من قبل مراقبين علي الطريق , المراقب الاول كان يقف عند الكيلو 100 و قد قام بتسجيل سيارتك علي أنها متجاوزة للسرعة في تمام الساعة 10:00 بينما قام المراقب الثاني بتسجيل سيارتك عند الكيلو 200 في تمام الساعة 11:00 مع معرفة أن السرعة المسموح بها علي الطريق هي 110 كيلو/الساعة, فهل تستحق المخالفة فعلاً أم أن ضابط المرور يريد العيدية ؟


حسناً يجب اولاً أن نعرف ماذا نريد أن نقيس و كيف سيتم قياسة , الفيزياء تخبرنا بأن


السرعة = المسافة \ الزمن و بما أن الفترة الزمنية التي نعرفها هنا هي فقط تلك التي رصدها المراقبين إذن المسافة التي سنقيسها هي تلك المسافة بين الإثنين خلال ذلك الزمن.


لنرمز للمسافة بالرمز X و للسرعة بـ v و للزمن بـ t لنوافق المتغيرات فالصورة


المسافة —-> 200 - 100 =100 كم


الزمن —-> 11:00 - 10:00 = ساعة واحدة


إذن فالسرعة هنا تكون 100 كلم في الساعة .


جميل, ربما تسأل ما علاقة هذا بالتفاضل ؟


جميل انك سألت , لاحظ أن هنا كان الوقت محدد (Discrete) و أيضاً المسافة , و لهذا قمنا بإستخدام معادلات محددة .


لكن يا عزيزي في الحياة التي نعيش فيها الزمن يسير بأجزاء و أجزاء متناهية الصغر داخل الثانية , في هذه الحالة لنكون دقيقين سنستخدم مفهوم يسمي ( معدل التغير مع ) أي أنه يمكننا أن نتجاهل المراقبين ( و ضابط المرور أيضاً ) و نقول ما هو معدل تغير المسافة مع الزمن الحقيقي ؟


ربما كنت تسير بسرعة ثابته بالتالي ستري الرسم بالأزرق في الصورة يشير إلي المسافة المقطوعة مع السرعة الثابتة (السرعة باللون الاحمر) و خط السرعة كما تر يشير إلي أن سرعتك ثابته مع مرور الزمن .

حسناً تعالي نرفع المستوي قليلاً لتعرف أكثر أهمية التفاضل , ماذا لو بدأت السيارة بزيادة السرعة خلال الطريق , انظر الي هذا الرسم التالي :





هل هذا مهم لتعلم التفاضل !!؟……….هذا مثال بسيط يعرفك أهمية حساب شيء يتغير مع شيء آخر ( تغير المسافة مع الزمن ………أو تغير السرعة مع تغير الزمن ) كما قلنا سابقاً التفاضل هو معدل التغير .

لنتعرف على أهمية التكامل

لنفهم التكامل بصورة بسيطة سنبدأ بالشرح علي بعد واحد وهو خط الأعداد الجميل كما بالصورة:

لنفترض ان لدينا المسافة بين الواحد والاثنين والتى معرفة ان طولها يساوي "1" من وحدة الأطوال…في الواقع في الحقيقة نحن لا نقفز من الواحد الي الاثنين لكن هناك أطول بينهما ولذلك لو قسمنا المسافة علي اربعة قطع سنجد ان طول كلا منهم 0.25 نسمي ذلك الطول بΔx ولكي نعرف المسافة بين 1 و 2 ينبغي علينا جمع اطوال القطع الجميلة تلك :

1=0.25+0.25+0.25+0.25

جيد لكن في الحقيقة الأعداد بينهما أكثر تقيسما من ذلك فلو افترضنا ان اصغر وحدة هي 0.1 سنجد ان هناك 10 قطع بين النقطتين وفي النهاية المجموع:

1=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1

لا يشترط ان تكون القطع متساوية في الواقع مجموع اي تقسيم بين النقطيتين في النهاية يساوي الواحد…ومنه يمكننا تعريف ان المسافة بين الواحد والاثنين هي مجموع عدد لا نهائي من القطع لا متناهية الصغر والذي يتطلب منك عملية جمع لا نهائية تلك العكلية يمكن تمثيلها :

نعم الطول في العرض والان ما رأيك في هذا المنحني (اللون الأزرق) نريد ان ناتي بمساحة المنطقة المحصورة تحته (اللون الأحمر) كيف نفعل ذلك؟:

في الواقع مجموع مساحات تلك المستطيلات سيكون اكبر من المساحة المطلوبة بمجموعة المساحات الخضراء اللون في الرسمة…ماذا لو جعلنا المستطيلات اصغر واصغر…

 

ماذا تلاحظ ؟ ان الخطأ في مقدار المساحة يقل كلما زاد عدد المستطيلات حتى يصبح نفس المساحة عند ما لا نهاية من الخطوات اليس كذلك؟..ماذا يعني مجموع عدد لا نهائي من القطع متناهية الصغر؟ …نعم تكامل…