لماذا المالانهاية لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؟
السلام عليكم ورحمة الله
اهلا ومرحبا بكم متابعى موقع الرياضياتى التعليمى فى مقال جديد, عن المالانهاية
ولماذا المالانهاية لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؟
ولكن قبل الاجابة على هذا السؤال سنتحدث عن تاريخ المالانهاية.
حقائق عن اللانهاية (الجزء الأول)
اللانهاية لها رمز خاص بها: ∞. تم إدخال الرمز، الذي يطلق عليه أحيانًا اسم “lemniscate”، من قبل رجل الدين والرياضي جون واليس في عام 1655. وكلمة “lemniscate” تأتي من الكلمة اللاتينية lemniscus، والتي تعني “ribbon”، بينما كلمة “infinity” تأتي من الكلمة اللاتينية infinitas، وتعني “بلا حدود”.
قد يستند Wallis على الرقم الروماني للرقم 1000، والذي استخدمه الرومان للإشارة إلى “لا تعد ولا تحصى”. ومن الممكن أيضًا أن يستند الرمز إلى أوميغا (Ω أو ω)، الحرف الأخير في الأبجدية اليونانية.
لقد تم فهم مفهوم اللانهاية قبل فترة طويلة من إعطاء واليس الرمز الذي نستخدمه اليوم. في حوالي القرن الرابع أو الثالث من القرن الرابع قبل الميلاد، كان نص Jain الرياضي “Surya Prajnapti” مخصصًا للأعداد إما “لا تحصى” أو “لا تعد ولا تحصى” أو “لا حصر لها“. استخدم الفيلسوف اليوناني Anaximander العمل apeiron للإشارة إلى اللامتناهي. كان Zeno of Elea (ولد حوالي 490 قبل الميلاد) معروف بالمفارقات التي تنطوي على اللانهاية.
حقائق عن اللانهاية (الجزء الثاني)
من بين كل مفارقات زينو، الأكثر شهرة هو مفارقته في “السلحفاة وأخيل“. تتلخص المفارقة في قول أرسطو:
في سباق، يستحيل على أسرع راكض أن يتعدى الأبطأ، إذ أن اللاحق يجب عليه أولاً أن يصل إلى النقطة التي يبدأ منها السابق، ولذلك فالأبطأ يحتفظ دوماً بقصب السباق.
أولى هذه المتناقضات كما قال زينون أن الجسم لكي يتحرك إلى نقطة أ لا بد أن يصل إلى ب وهي منتصف طريقه إلى أ، ولكي يصل إلى ب يجب أن يصل أولا إلى ج منتصف طريقه إلى ب، وهكذا إلى ما لا نهاية. وإذ كانت هذه السلسلة التي لا نهاية لها من الحركات تتطلب قدراً لا نهاية له من الزمن، فإن تحرك أي جسم إلى أية نقطة في زمن محدد أمر مستحيل.
افترض أن هومر يريد أن يلحق بحافلة متوقفة. قبل أن يستطيع الوصول إلى هناك، فعليه أن يصل إلى منتصف المسافة. وقبل أن يستطيع الوصول لمنتصف المسافة، عليه أن يصل إلى ربع المسافة. وقبل الوصول إلى ربع المسافة، عليه أن يصل إلى ثمن المسافة؛ وقبل الثمن، واحد على ستة عشر؛ وهلم جراً.
حقائق عن اللانهاية (الجزء الثالث)
مثال جيد آخر لانهائي هو الرقم π أو pi. يستخدم الرياضيون رمزًا لـ pi لأنه من المستحيل يستحيل كتابته. يتكون Pi من عدد لانهائي من الأرقام. غالبًا ما يتم تقريبه إلى 3.14 أو حتى 3.14159 ، ولكن بغض النظر عن عدد الأرقام التي تكتبها، فمن المستحيل الوصول إلى النهاية.
وهذا ما جعلنا نتخذه شعار لنا.
وبعد ان تعرفنا على المالانهاية سنجيب على سؤالنا.
لماذا المالانهاية لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؟
تعرف على سبب لماذا المالانهاية لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؟
هذا سؤال جيد، و لطالما عانيت من ان اساتذة المدارس يخلطون هذه الامور، لانهم نفسهم لا يعلمون عن ماذا يتحدثون.
اللانهاية، هي في الحقيقة "كائن" رياضياتي مختلف، ستصادف في دراساتك المستقبلية الكثير من هذه الكائنات الجديدة، مثلا الدائرة هي كائن رياضي مختلف عن المستقيم، أو عن العدد الحقيقي، الخ..
طبعا السؤال هنا، ما هو الكائن الرياضي؟ باختصار، هو شيئ معرف بطريقة أخرى، و هذا الكائن قد يكون له علاقة بغيره من الكائنات، او لا يكون.
في الحقيقة، اللانهايات بقيت لفترة طويلة شيئ غريب في الرياضيات، و تسببت بالجدل بين علماء الرياضيات و بين الفلاسفة لألاف السنين (من دون مبالغة)، فلا تستغرب ان وجدت صعوبة في ان تستسيغ ما سيأتي من كلام.
هناك مجال في الرياضيات، ربما ستدرسه في المستقبل، يسمى نظرية المجموعات، هذه النظرية تبني بطريقة معقدة، و لكن انطلاقا من عدد من المبادئ القليلة (تسمى مبادئ ZFC و لكن يوجد مبادئ اخرى يمكن الانطلاق منها) تبني من الصفر كل ما تعرفه عن الاعداد، اي نعم، الاعداد ليست الشيئ الاكثر بساطة أو اولية في الرياضيات، نظرية المجموعات شيئ اولي اكثر. و مثلا لبرهان ان 1+1=2 في هذه النظرية، تحتاج لحاولي 650 صفحة! ولكن نعم، يمكن برهان ذلك.
عندها تسألني لماذا نحتاج لتعقيد الامور و البحث عن شيئ اولي اكثر من الاعداد التي تبدو للجميع بديهية؟ لهذا يوجد الكثير من الاسباب، و في المستقبل، ستتعلم ان ليس كل ما هو بديهي صحيح، بل ان بديهتنا طالما ما تخطئ، و للاسف لا استطيع ان اشرح لك الاسباب اكثر نظرا لمستوى معرفتك الحالي، و لكن تذكر هذا دائما.
ساذكر فقط، ان احد اسباب الحاجة لهكذا نظرية اكثر اولية و اعمق، هي اللانهايات. كما ذكر سيد، فعلا اللانهايات لديها خواص، لا تملك الاعداد العادية منها، و قد تمكن علماء الرياضيات من بناء نظرية متسقة منطقيا للانهائيات، فقط في القرن الثامن عشر، من قبل العالم كونتور، بفضل نظرية المجموعات.
اللانهاية، ليس لها حدود، هذا احد اهم اختلافاتها عن الاعداد، فالعدد 2، دائما تستطيع ان تتخيل اين ينتهي على مستقيم الاعداد، و لكن اللانهاية في المقابل، كالصابونة، دائما تفلت، و ليس لها نهاية، لهذا تسمى اللا-نهاية. لهذا اضافة 1 او 2 أو حتى 3664.865 الى اللانهاية، ستبقى لا نهاية، لانه لا يوجد لها حد اصلا، بحيث يتطلب ازاحته عندما تضيف رقما، كما هو الحال عند اضافة رقم الى اخر.
و من هنا ترى ان اللانهاية هي كائن رياضي مختلف عن العدد، له خواص مختلفة، و بالتالي لا يمكن اعتباره جزأ من الاعداد الحقيقية.
تستتعلم في المستقبل، خصائص اخرى غريبة جدا للانهائيات، و مثيرة جدا للاهتمام، لن اذكرها، لاني سأتركك تستكشفها في رحلتك الدراسية بطريقة مشابهة لما عانيته البشرية خلال استكشافها للانهاية.
اخيرا، عندما يقول معلمك ان مستقيم الاعداد الي ما لانهاية، هو يعني انه طويل جدا جدا، و يحتوي اي عدد يمكنك تخيله، و لكن هذا لا يعني انه يحتوي اللانهاية نفسها، بل يجب ان تتخيل و كان المستقيم "يتوقف قبل اللانهاية" ، لان اللانهاية، ليس لها حدود، و لكن الاعداد لها حدود، قد يكون الحد بعيد جدا، و لكن الحد موجود. هذا طبعا يصعب تخيله.
سيكون فهم هذا عليكم صعبا لا شك، و لكن لا تنزعج، هذا شيئ لابد منه حتى تتعلم امور اخرى ستعطيك لاحقا فهم افضل لما هي اللانهاية، و انت الان بمستوى يتطلب منك معرفة وجود هذا الكائن، و تخيله نوعا ما، من دون فهم تفاصيله، للاسف.
إذا اعجبك محتوى الموقع
لا تنسى متابعة موقعنا ليصلك كل جديد
كن من معجبينا على صفحة الفيس بوك
وشارك محتوانا عليه
ارسال التعليقات لنا
ولاتنسى زيارتنا.
وشكرا لزيارتكم والى لقاء جديد مع مقال جديد على موقع الرياضياتى التعليمى
فكونوا على الموعد.
تعليقات
إرسال تعليق
اترك لنا تعليق اذا اعجبك المحتوى او اى سؤال